Maximal topological complexity of monotone symplectic 4-manifolds

Ryuma Orita
arXiv:2607.20886

概要
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Farberのtopological complexityは，空間上で経路を連続的に選ぶために必要な規則の数を測ります。この研究では，閉シンプレクティック4次元多様体で，その値が最大値 $\mathrm{TC}(M)=9$ に達する条件を明らかにします。単調シンプレクティック多様体に関する先行研究を発展させ，$8$ と $9$ のどちらになるかという未解決の問題を，より弱い仮定の下で解決します。

鍵となるのは，閉球面状単調シンプレクティック多様体の基本群が $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ と同型な部分群を含まなければ，同じ単調性定数でトーラス状単調にもなる，という結果です。4次元では，これに小平次元が $-\infty$ でないという条件を加えると，$\mathrm{TC}(M)=9$ が得られます。基本群がGromov双曲的な場合も，この群についての条件を満たします。

一方，種数 $g\geq 2$ の閉向き付け可能曲面上の $S^2$ 束のすべてのブローアップについては，Lusternik–Schnirelmannカテゴリーが $\mathrm{cat}(M)=4$，topological complexityが $\mathrm{TC}(M)=7$ となります。これらの例から，小平次元の仮定を外せないことが分かります。論文で扱う3つの場合を合わせると，$(\mathrm{cat}(M),\mathrm{TC}(M))=(3,5)$, $(4,7)$, $(5,9)$ が実現されます。数値はいずれも非簡約（unreduced）の流儀によるものです。

BibTeX

@misc{orita2026maximal,
  author        = {Orita, Ryuma},
  title         = {{Maximal topological complexity of monotone symplectic 4-manifolds}},
  year          = {2026},
  eprint        = {2607.20886},
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  url           = {https://arxiv.org/abs/2607.20886}
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概要#

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