第4ターム月曜3限 · 新潟大学 理学部
日程についての注意
本講義は第4タームの月曜3限です。初回は 2026年12月7日 です。
2027年1月14日（木）・1月22日（金）は月曜授業の振替日のため、3限に授業を行います。
12月27日～1月6日は冬期休業です。また、1月11日（月）は祝日、1月18日（月）は大学入学共通テストに伴う全学休講のため、授業はありません。
テキスト
- 松本幸夫 著「多様体の基礎」東京大学出版会
主要参考図書
- L. W. Tu 著／枡田幹也・阿部拓・堀口達也 訳「トゥー 多様体」裳華房
- 松島与三 著「多様体入門」裳華房
推薦図書
- R. Bott・L. W. Tu 著／三村護 訳「微分形式と代数トポロジー」丸善出版
日程・授業内容#
2026年10月8日現在の予定です。授業内容は進度に応じて調整することがあります。第1～7回は各90分、第8回は45分の講義とテストを予定しています。
| 回 | 日程 | 授業内容 |
|---|---|---|
| 第1回 | 2026/12/7（月） | 写像の局所標準形と射影空間 幾何学IIAの微分と逆関数定理を復習し、微分が全射・単射の場合の写像の局所標準形を学ぶ。実射影空間を同次座標と座標変換から構成し、実射影直線・実射影平面の具体像を確認する。 |
| 第2回 | 12/14（月） | はめ込み・埋め込みと部分多様体 具体例を通じて、はめ込みと埋め込みの違いを理解する。部分多様体を局所座標で定義し、部分多様体の包含写像が埋め込みとなることと、埋め込みの像が部分多様体となることを学ぶ。 |
| 第3回 | 12/21（月） | 正則点・臨界点と正則値定理 正則点・臨界点および正則値・臨界値を区別し、正則値の逆像が部分多様体となることを示す。球面などを例に逆像の次元と接空間を求め、Sardの定理と臨界点から多様体の形を調べる考え方を紹介する。 |
| 第4回 | 2027/1/14（木） 月曜授業振替 | ベクトル場・かっこ積と積分曲線 ベクトル場の局所座標表示と関数への作用を学び、かっこ積を具体的に計算する。積分曲線を常微分方程式として表し、解の局所的な存在・一意性と極大積分曲線の定義域を確認する。 |
| 第5回 | 1/22（金） 月曜授業振替 | ベクトル場の流れと1次微分形式 ベクトル場の完備性を定義し、完備なベクトル場と1パラメータ変換群の対応を回転の例で確認する。双対空間と余接空間から1次微分形式を導入し、その局所座標表示と引き戻しを学ぶ。 |
| 第6回 | 1/25（月） | 微分形式の外積・引き戻し・外微分 符号付き面積を出発点に、交代形式と高次の微分形式を導入し、外積と引き戻しを計算する。外微分の定義、積に関する公式、2回続けて外微分すると零になる性質を学び、次数と符号を確認する。 |
| 第7回 | 2/1（月） | 向き・微分形式の積分とStokesの定理 多様体の向きを定義し、局所的な積分と1の分割を用いて微分形式の積分を構成する。境界をもつ領域と境界に誘導される向きを学び、Stokesの定理の主張と証明の方針を理解する。 |
| 第8回 | 2/8（月） | Stokesの定理の計算・総括・テスト 円板上でStokesの定理の両辺を計算し、境界の向きと積分の符号を確認する。円周上の例から閉形式と完全形式の違いを学び、講義全体を振り返る（講義45分）。テストを実施する。 |