第3ターム月曜3限 · 新潟大学 理学部
日程についての注意
本講義は第3タームの月曜3限です。初回は 2026年10月5日 です。
10月13日（火）は月曜授業の振替日のため、3限に授業を行います。10月12日（月）・11月23日（月）は祝日のため授業はありません。
テキスト
- 松本幸夫 著「多様体の基礎」東京大学出版会
主要参考図書
- L. W. Tu 著／枡田幹也・阿部拓・堀口達也 訳「トゥー 多様体」裳華房
- 松島与三 著「多様体入門」裳華房
日程・授業内容#
2026年10月8日現在の予定です。授業内容は進度に応じて調整することがあります。第1～7回は各90分、第8回は45分の講義とテストを予定しています。
| 回 | 日程 | 授業内容 |
|---|---|---|
| 第1回 | 2026/10/5（月） | 多様体の定義（1） 座標近傍と座標変換を導入し、位相多様体と滑らかな多様体を定義する。円周の局所座標や平面の極座標を例に、アトラスと座標変換の滑らかさを学ぶ。 |
| 第2回 | 10/13（火） 月曜授業振替 | 多様体の定義（2）・滑らかな関数 球面・積多様体・トーラス・開部分多様体の構成を学び、同値なアトラスと滑らかな構造を理解する。局所座標を用いて多様体上の滑らかな関数を定義し、球面の高さ関数を例に滑らかさを確認する。 |
| 第3回 | 10/19（月） | 滑らかな写像と微分同相 多様体間の滑らかな写像を局所座標表示によって定義し、その座標独立性と合成の性質を学ぶ。微分同相を導入し、滑らかな全単射でも逆写像が滑らかとは限らないことを具体例で確認する。 |
| 第4回 | 10/26（月） | 接ベクトル空間（1） 曲線の速度を関数への方向微分として捉え、線型性とLeibniz則を学ぶ。座標偏微分を用いて接ベクトル空間を定義し、その基底と次元を調べる。 |
| 第5回 | 11/2（月） | 接ベクトル空間（2） 座標変換に伴う接空間の基底変換を求め、接空間の定義が座標の選び方によらないことを確認する。円周上の曲線の速度を異なる座標で計算し、任意の接ベクトルが曲線の速度として実現できることを学ぶ。 |
| 第6回 | 11/9（月） | 滑らかな写像の微分（1） 曲線の速度の対応から多様体間の写像の微分を定義し、曲線の選び方によらないことと線型性を確かめる。微分をJacobi行列で表示し、非線型写像による接ベクトルの像を計算する。 |
| 第7回 | 11/16（月） | 滑らかな写像の微分（2） 関数・曲線・線型写像の微分を調べ、方向微分や速度ベクトルとの関係を整理する。合成写像と逆写像の微分の公式を学び、微分同相な多様体の次元が一致することを示す。 |
| 第8回 | 11/30（月） | 逆関数定理・テスト 多様体上の逆関数定理を学び、微分の可逆性から局所的な微分同相を判定する。具体例を通じて局所的な可逆性と大域的な単射性の違いを確認する（講義45分）。テストを実施する。 |